Franz Feuchtinger kam als fünftes von zehn Kindern des Lehrers Franz Joseph Feuchtinger und seiner Frau Josephine, geb. Heiser, zur Welt. 1890 soll er in Ebenweiler als Musikalien- und Buchhändler tätig gewesen sein, bevor er nach Regensburg wechselte. Hier erhielt er 1906 die Aufnahme in Bayern und 1911 das Bürgerrecht in Regensburg. Dem Regensburger Adressbuch von 1891 ist er als Musikalienhändler bekannt. 1892 heiratete er Amalie Laifle (* 1867). Am 1. November 1890 hatte er die Musikalienhandlung von Josef Seiling übernommen. Durch den Eintritt von Fritz Gleichauf im Juni 1891 als Teilhaber wurde daraus die Firma Franz Feuchtinger, vormals Josef Seiling (Inhaber: Feuchtinger & Gleichauf), Hauptniederlage für katholisch-cäcilianische Kirchenmusik, deren umständlicher Name im Oktober 1891 in Feuchtinger & Gleichauf geändert wurde. Bereits zum 1. September 1900 trat Franz Feuchtinger jedoch aus dieser Firma aus und übernahm die Musikalienhandlung von Johann Georg Bößenecker. In den Jahren 1903-1913 vertrat er zusätzlich als Prokurist den Verlag seines Bruders Eugen Feuchtinger.

Am 15. Juni 1901 hatte Franz Feuchtinger seinen eigenen Verlag gegründet; im gleichen Jahr legte er als erstes Werk das Te Deum laudamus für gemischten Chor und Orgel op. 50 von Joseph Renner jun. vor. Laut Vertrag mit Fritz Gleichauf vom 1. September 1900 durfte er jedoch nicht als Verlag Franz Feuchtinger firmieren, sondern nur als Franz Feuchtinger, J. G. Boessenecker’s Musiksortiment. Ganze sechs datierte Titel sind insgesamt bis zu seinem frühen Tod am 30. Mai 1916 nachweisbar. Will man diese Zahl aber richtig bewerten, muss man die Produktion des Verlags Eugen Feuchtinger zwischen 1903 und 1913 hinzurechnen, den Franz Feuchtinger als Prokurist vertrat.

Nach dem Tod Franz Feuchtingers führte seine Witwe Amalie den Verlag weiter, später folgte ihre Tochter Elisabeth (1897-1970). Unter ihrer Leitung, unterstützt durch ihre Schwester Carolina (1895-1952), entfaltete der Verlag ab 1926 eine kontinuierliche Tätigkeit. 1927 wurde der Verlag des Cäcilien-Vereins übernommen, dessen Titel früher von Franz Feuchtinger ausgeliefert worden waren. Etwa 1933 änderte die Firma den Namen: Erstmals in der Ausgabe von 1934/35 kennt das Regensburger Adressbuch neben dem Musiksortiment auch die Firma Franz Feuchtinger Kirchenmusikverlag. Nach dem Tod von Carolina war Elisabeth Feuchtinger seit 1951 alleinige Inhaberin. Erfolgreich führte sie den Musikverlag und die angeschlossene Konzertdirektion. Ihr gelang es, dem Unternehmen eine führende Rolle in der Herausgabe von geistlichen Musikwerken alter und neuer Zeit zu erarbeiten, indem sie anerkannte musikwissenschaftliche Mitarbeiter gewinnen konnte (Anton Schreiegg, Elisabeth Feuchtinger und die Regensburger Musikszene, in: Regensburger Almanach 26 [1993], S. 42). Die Musikalienhandlung übernahm 1968 Werner Nonnenberg für das Ulmer Musikhaus Reisser. Der Verlag Franz Feuchtinger wurde 1978 an Feuchtinger & Gleichauf verkauft. Seit 1. Januar 2018 ist Sebastian Plate Inhaber und Geschäftssführer des Verlags.